선도(Forward)계약 및 선도의 Pricing

"생각없이 읽다보면 재미있는 금융지식!"


안녕하세요 오늘 포스팅에서는
파생상품(Derivatives) 중에서도 가장 기초적인 파생상품인
선도(Foward)에 대해 알아보고
어떻게 가격을 책정하는지(Pricing) 알아볼려고 합니다.


우선, 선도를 알기에 앞서 이자계산 방법에 대한 기초지식이 필요하므로
2021.05.24 - [채권/기초편] - 이자율 단리, 복리, 연속복리
를 읽고 와주세요.!



우선, 선도(Foward)란? 무엇일까요?
선도(Foward)는
1. 특정가격(행사가격, Strike Price)으로
2. 특정시점(만기일, Maturity)에
3. 자산(기초자산, Underlying Asset)을 사거나 파는
계약입니다.



쉽게 예를 들어 봅시다.

A와 B는 쌀 한가마니를 사고 팔고자 합니다.
하지만, 지금은 봄이고 가을에는 쌀의 시세가 변할 수 있으니
봄에 미리 쌀 한가마니의 가격을 서로 고정시켜 거래하고자 합니다.



그래서, 봄에 A와 B가 계약합니다.
가을(만기, Maturity)에 쌀 한가마니를 8만원(행사가격, Strike Price)에 거래하자고.
이 거래에서 쌀 한가마니에 따라 계약의 가치가 변하게 됩니다.
여기서 쌀한가마니가 기초자산(Underlying Asset)이 되는거죠.



예를 들어, 아주 심플하게
가을에 쌀한가마니 가격이 6만원일 경우
계약에서 8만원에 사고자 한 사람의 경우 2만원 손해가 되고
팔고자한 사람은 2만원 이득이 됩니다.


이걸 쉽게 기호화 해보자면

위의 예시로 치면
K = 8만원
St = 6만원

쌀한가마니를 구매하고자 한사람의 Pay Off = 6 - 8 = -2 만원
이 되게 되는 것이죠!


따라서, 만기시 선도 매입포지션의 Pay Off 그래프는

이렇게 됩니다.
(매도 포지션의 경우 X축 대칭 생각하시면 됩니다.!)



하지만!! 우리는 만기시가 아닌
현재 시점의 가격이 필요하겠죠!?



이제 미래 시점의 Pay Off를 알았으니
현재시점에서 적정 가격을(Pricing)알아봅시다!




우선. 기초자산(Underlying Asset)에는 여러 자산이 있는데요.!
1. 중간에 소득이 없는 자산
2. 중간세 소득, 혹은 수익률이 있는 자산
3. 보유비용이 있는 자산




기초 자산의 성격에 대해서 Pricing이 다릅니다.!

가장 심플한 예부터 보도록 하죠.
우선 중간에 소득이 없고,
보유비용도 없는 자산을 Pricing 해보도록 하겠습니다.


가장 대표적인 예가
무이표채(Zero Coupon Bond)
가 있습니다.

이라고 했을 때,

식이 성립되게 됩니다.
만약,

일 경우

선도 매도 계약을 체결하고
돈을 빌려
기초자산을 사게 되면 만기 시점에 위험없이 수익을 얻을 수 있습니다.

예를 들어

선도 계약이 5만원이고
기초자산인 무이표채가 4만원이고
이자율이 4%고
만기가 1년 짜리라고 가정해봅시다.

F0: 5
S0 = 4
r = 0.04
T = 1



그러면 5만원에 선도 매도 계약을 체결한 후
은행에서 4만원을 빌립니다.
그리고 4만원으로 기초자산을 구매합니다.


그리고 1년후에 4만원에 산 무이표채를 주고
5만원을 받은뒤에 빌린 4만원에 이자를 합쳐 갚으면 위험없이 수익을 얻을 수 있습니다.


수식으로 정리해보면
5 - 4e^0.04 =
5 - 4.1632 =
약 8,368 원이 위험없이 생기게 됩니다.

이런 기회는 남아 있을리가 없겠죠..!??




반대의 케이스도 생각해봅시다.!
선도계약이 3만원이고
기초자산인 무이표채가 4만원이고
이자율이 4%
만기가 1%라고 가정시에
F0: 3
S0 = 4
r = 0.04
T = 1



선도 매수계약을 체결하고
무이표채를 공매하고 은행에 넣어둡니다.
그리고 만기시에 선도계약으로 받은 무이표채를 돌려주면
무위험 차익거래를 얻을 수 있습니다.

(실제로는 대차 수수료를 줘야 해서 이것보다는 비용이 더 나가긴 합니다.)
(무이자로 빌릴 수 있다고 가정시입니다.)


수식으로 정리해보면
4e^0.04 - 3 = 11,632 원을
무위험으로 얻을 수 있습니다.



따라서,

시에만 차익거래가 발생하지 않음을 알 수 있습니다.




그럼 만약 중간에 수익이나 일정한 수익률을 주게되는 자산은 어떻게 될까요 !?
(대표적으로, 이표채, 혹은 통화선도가 있습니다.)

결론적으로 말하자면, 각각의 경우

 

처럼 되게 됩니다.
그렇게 되지 않으면 위의 경우처럼
차익거래가 발생하게 되기 때문입니다.!




그럼 마지막의 케이스인 보유비용이 있다면 어떻게 될까요!?
(실물자산은 보관비용이 들기 때문에, 보유비용이 존재합니다.
예를들어, 돈육, 금 같은 자산들이 해당되겠죠.)



이 때는 위에서 예정수익이나 예정수익률의 반대처럼 계산해주면 됩니다.!
일정한 비용일 경우와 일정한 비용율일경우 각각

처럼 됩니다. 마찬가지로 이렇지 않으면 차익거래가 발생하게 됩니다.



오늘은 선도계약과 선도계약의 Prcing에 대해 알아 보았습니다.
읽어주셔서 감사합니다. :)